このページでは,対数グラフについて解説します。 普通の目盛と対数目盛. すなわち対数とは、数値に付く”0”の数だと覚えれば良いのです。 要は、難しい事はなるべく簡単にして理解する事です。 デシベル表示のグラフ表示 対数について分かった所で、前頁で使った以下の表をグラフ化したらどうなるか見てみたいと思います。 対数目盛とは、数値軸の間隔が等間隔ではなく桁数ごとに区切られる目盛のことです。先ほどのグラフでは、数値軸が等間隔に置かれています。そのせいで、「太陽」という突出したデータが混ざってしまうと、他のデータが目立たなくなってしまいます。 実験結果をグラフにします。で、そのときに対数をとってと言われました。 この推移を同様にグラフに示すとこのようになります。, 当然ですがオレンジ線の3倍増加は2倍増加と比較して圧倒的に感染者数が増加することがわかります。, ここで先ほど2倍増加と、3倍増加の感染者数の推移を対数グラフで表すと べき関数 $y=Cx^a\:(C> 0)$ は両対数グラフで直線になる。そのべき $a$ は直線の傾きと一致する。, 両対数グラフで傾き $A$,切片 $B$ の直線になる 対数グラフとは,対数目盛を使ったグラフのことです。普通の目盛では「0から1」「1から2」が同じ1目盛分になりますが,対数目盛では,「1から10」「10から100」が同じ1目盛分になります。, 普通のグラフでは,二点間の距離がその二点の数値の差に比例するような目盛(普通の数直線)を使います。 $\iff \log y=Ax+B$ という関係がある こんにちは。(^.^) この記事では、そんな疑問を解消するために、対数グラフの読み方と使い所を具体例を交えて説明します。, 最も使用頻度の高い常用対数グラフを例に説明します。普通の目盛りと対数目盛りを比較してみましょう。, 普通の目盛りは一定距離ごとに数が10ずつ増えていますが、対数目盛りは一定距離ごとに数が10倍ずつ増えています。ちょうど目盛りを「一、十、百、千、万…」と読んでいくイメージですね。, 対数目盛りがx軸・y軸のどちらかに付いているものを片対数グラフ、両方に付いているものを両対数グラフといいます。, 対数軸は何だか目盛りが偏っていて、読み方がよく分かりませんね…。詳しい読み方は後で説明するので、今は細かい目盛りは無視して「倍々」のイメージだけしっかり抑えてくださいね。, 対数グラフは、様々なオーダー(桁数)のデータをざっくりと確認・比較したいときに非常に便利です。, 例えば、4つの産業分野A,B,C,Dの、 1950年~2000年における市場規模をグラフで比較したいとします。, 産業Aの市場規模が圧倒的ですね。ただこれでは他の産業の規模や大小が全く分かりません。産業B,C,Dのデータにズームインしてみましょう。, なるほど、産業Bは50年で順調に成長したようです。ただ、また同じ問題が生じていますね。産業C,Dの詳細が全く分かりません。さらにズームインしてみましょう。, これでようやく全体像が見えました。圧倒的に見えた産業Bも、1950年初頭は産業C,Dより規模が小さかったようです。また、1980年あたりで産業Cと産業Dの市場規模がほぼ同じになっていますね。, このように、普通のグラフでは、オーダーの大きなデータのせいでオーダーの小さなデータがつぶれてしまうという問題があります。, 対数グラフを用いると、この問題が一発で解決します。y軸を対数目盛にしてプロットした結果がこちらです。, 産業Aが1000億オーダーの規模であること、産業Bが10億オーダーの規模であること、産業C,Dが1000万オーダーの規模であることが分かります。さらに、産業Bは最初は他より規模が小さかったことや、1980年あたりで産業Cと産業Dの規模がほぼ同じになっていることも、一目瞭然でわかりますね!, このように、詳細な値はいいので様々なオーダーのデータをざっくりと確認・比較したいときに非常に便利なのが対数グラフです。, こちらも、基本の考え方は同じです。様々なオーダーのx軸値に対して結果を確認・比較したいときに使用します。, それぞれの電波周波数に対する信号強度を普通のグラフでプロットした結果がこちらです。, 8[GHz]周りで強い信号が検出されていますね。左のほうにも何やら信号が検出されていますが、潰れて詳細が分かりません。, 10[MHz]・100[MHz]周りにも信号があることが分かりました。このように、x軸を対数にすることで様々なオーダーのx軸値に対する結果を一目で確認できるようになります。, 例えば先ほどの信号検出の例では、信号強度が大体100~1000の周波数のみを確認しましたが、強度10以下の信号についても傾向を見たいとします。, この場合は、最初の例と同じくy軸も対数目盛にすればよいですね。そうすれば、両対数グラフの出来上がりです。同じデータを両対数グラフでプロットした結果がこちらです。, 新たに、1000[MHz]周りにも小さな信号ピークがあることが分かりました。このように、x軸・y軸ともに様々なオーダーを取り扱えるのが両対数グラフです。, それでは、いよいよ対数グラフの詳しい読み方を見ていきましょう。あの偏った目盛りはどのように読むのでしょうか?, 分かりやすくするため、対数目盛りに値を記入しました。以下、これを用いて説明します。, 対数目盛は「倍々」で値が増えていくので、1と2の間の距離は「2倍」を表すはずです。, この「2倍の距離」を目盛りの様々な所に当ててみると、確かにどこでも2倍が成り立つことが分かります。, 2倍だけでなく、他の倍率の距離と組み合わせても、きちんと整合性が保たれています。よくできてますねー。, 右に進んで倍になるということは、左に進むと割り算になります。「行って戻ってくると同じ値になる」と考えると当たり前ですね。, よって、対数目盛りには0やマイナスがありません。いくら左に行っても、1/100、1/1000、1/10000…と数が小さくなり、永遠に0にはたどり着けないためです。, 1と10のちょうど中間の地点の値を考えてみましょう。中間の地点は「2回進むと10倍になる距離」と考えると、\(10^{\frac{1}{2}}\)、つまり\(\sqrt{10}\)となります。同様に、1/4の地点は \(10^{\frac{1}{4}}\) となります。, よって、もし対数グラフを書く必要が出た場合は、「10を何乗したらその数になるか」、つまり\(\log_{10} x\)を計算し、その値を(普通の目盛りの感覚で)プロットすればよいことになります。ただ最近はソフトが自動でデータを対数プロットしてくれますので、このような計算をすることは少なくなりました。, 最後に、なじみのある関数たちが対数グラフでどのように見えるのかを見てみましょう。これを知っておけば、対数グラフを読むのがグッと楽になりますよ。, x軸片対数グラフを見ると、sin関数がなんだか右側にギューッと圧縮されていますね。倍々グラフなので、「右に行けば行くほど1目盛りあたりに含まれる数がどんどん増える」と考えると、右に行くほど情報が密になることが納得いくと思います。, y軸片対数グラフも同様に、上側に情報がギューッと圧縮されているわけですが、その結果波がピョコピョコした形になっています。この「ピョコピョコ」は対数グラフで結構見かけるので、「対数グラフのピョコピョコはただの上下振動」と覚えておくと便利です。, x軸片対数グラフ・y軸片対数グラフでは、先ほどと同じく情報がギューッと圧縮されるために直線が歪んで見えています。, 直線は両対数グラフでも直線のままですが、傾きがどちらも同じになっていますね。これは、どちらのグラフも次の通り「倍々」の特性は同じであるためです。, $$\begin{gather}y=x^2\\y=x^3\end{gather}$$, x軸片対数グラフ・y軸片対数グラフは、直線の場合と同じですね。特に言うことはありません。, となるので、倍々グラフ上ではどちらも直線で、\(y=x^3\) のほうが傾きが大きくなります。, $$\begin{gather}y= 2^x\\y= 3^x\end{gather}$$, となるので、y軸だけ倍々の関係を考えると直線になるわけです。\(y= 10^x\) を考えてみるとより分かりやすいですね。, $$\begin{gather}y= \log_{10} x\\y= 2\log_{10} x\end{gather}$$, 今度はx軸片対数グラフが直線になっています。これは実際にx軸の値を代入してみると明らかですね。10の右肩についている数がそのままy軸の値に使われるので、直線的な関係が成り立ちます。, 対数目盛りの読み方と、基本的な関数の対数グラフにおける見えかたを知っておけば、対数グラフをほぼ不自由なく使いこなせると思います。チャンスがあればデータ分析にどんどん活用して、分析効率を高めていきましょう!, 両対数のグラフ(電波の信号強度の具体例)の周波数:10^3[MHz]以外のピークの上限が違うのではないでしょうか。, ご指摘ありがとうございます。厳密には間違いではありませんでしたが、確かに混乱を招きやすい表現になっていたので、より分かりやすいデータに差し替えました。ありがとうございました。, わざわざコメントいただき、ありがとうございます!お役に立てたようで大変嬉しいです!. 4月中旬ごろには鈍化傾向がうっすら見えてきたのがわかります。, また3月21日頃に一旦鈍化しかかったのもわかりますが、その後傾きが急になっているのもわかります。, 次回のコメントで使用するためブラウザーに自分の名前、メールアドレス、サイトを保存する。. 昔、先生に「このよくわからない紙に計測した点をプロットしたら直線になるから黙って点でも打っていろ」なんて言われたかどうかはさておき、 このグラフに点を打てばなぜか直線になる のを不思議に思った人もいるかもしれません。 $\iff \log y=A\log x+B$ という関係がある 得意科目:化学 その増加率が上昇しているのか鈍化しているかがわかりにくいです。, 3月下旬から4月上旬まで、傾きが急で、増加率が高かったですが、 対数グラフを使えば、今まで見えなかった「アッと驚く」姿が見えてきます。対数グラフを使うのに苦手な対数の知識は必要ありません。excelによる対数グラフの作り方のページです。 「対数グラフ」「指数関数的増加」という言葉を耳にするようになりました。, 高校の時に習ったような・・・とかすかな記憶を頼りに見られている方もおられるのではないでしょうか。, 理系の大学を出られてエンジニアで働かれている人であれば使う方もいますが、 2.は、あきらめます。(>_<) 1週目は1人、2週目は2人、3週目は4人と増加するということを仮定します。, さらにここに1週間毎に3倍になる街があったとし、 $\dfrac{\log y_1-\log y_2}{\log x_1-\log x_2}$ 一般的によく見かける目盛は2点間の距離が0,1,2,3,4,5・・・のように数が1ずつ増えたり、0,10,20,30,40,50・・・のように数に10ずつ増えたりするような目盛となっています(この記事はこの目盛を普通の目盛と呼びます)。 一方、2点間の距離が0.001,0.01,0.1,1,10,100・・・のように数が10倍ずつ増えたりするような目盛を対数目盛と言います。対数目盛は1つ後の目盛りが広くなり、1つ前の目盛りが狭くなっている箇所が目盛りの間隔となっています。親切なグラフの場合、この目盛の間隔の箇所 … 「実験結果をそのまま単純にグラフにしたら一次関数になった」というのなら分かります。, だいたい分かりました。 直線の傾き $A$ はべきと一致している。, なお,両対数グラフにおいて,2点 $(x_1,y_1),(x_2,y_2)$ を結ぶ線分の傾きは © 2014--2020 高校数学の美しい物語 All rights reserved. ・片方のと両方のやつの使い分けはどうすればいいですか? 2020/09/02 コロナウイルスなどの感染者増加と片対数グラフの関係について追加, 実験の基礎シリーズの最終回となる今回は、実験で出てくる片対数・両対数グラフについて説明していきます。, 皆さんが今まで使ってきたグラフは、縦の軸の目盛りも、横の軸の目盛りも1, 2, 3… やら 10, 20, 30… と等間隔に振られていますね。, 片対数グラフというのは、縦の軸か横の軸の片方の目盛りが等間隔の目盛りではなく「対数の目盛り」になったグラフです。, 片方の軸なので、縦と横のどちらを対数にしてもOKですが、縦を対数軸にすることが多い気がします*1。, 両対数グラフというのは、縦の軸か横の軸の片方の目盛りの両方が対数の目盛りになったグラフです。, 片対数グラフ・両対数グラフのグラフ用紙はこちらのホームページに掲載されていたので、確認したい人はぜひ見てください。, (今回片対数グラフの説明をするにあたって、神戸市立工業高等専門学校長谷研究室の片対数グラフを引用しています。[アクセス日:2019年9月29日]), 片対数や両対数などの対数に関するグラフでまず挫折するのは、目盛りの読み方だと思います。, 片対数グラフの1つ上の目盛りが広く、1つ下の目盛りが狭くなっているのが目盛りの間隔の変化のサインを表しています(この部分は必ず値が になります)。親切なグラフ用紙なら太線になっているはずです*2。, このサインより上側に行くと1つあたりの目盛りの単位が10倍に、下側にいくと目盛りの単位が 1/10 倍になります。, 対数目盛を見て、「なんでこんなに目盛りの間隔が違うの?」と思った人もいるかもしれません。, そこで、対数目盛の1から10を表すそれぞれの部分に をとって方眼紙と比較してみましょう。, すると、1と2の間隔は と の間隔、2と3の間隔は と の間隔と等しくなっていますね。, もう1つ、 を境目に突然値の増え方が10倍になりましたね。この仕組みを図とともにわかりやすく書いてみました。, 例えば20(つまり というのは\[ \log_{10} 20 = \log_{10} 2 + \log_{10} 10\]の2つに分解できますね。, 同じ対数の底同士の足し算は真数同士の積で計算できますね。同様に 30, 40の場合も\[ \log_{10} 30 = \log_{10} 3 + \log_{10} 10 \\ \log_{10} 40 = \log_{10} 4 + \log_{10} 10\]のように が足されていますね。, 新型コロナウイルス感染症について,片対数グラフを見かけたり私自身描いているのですが「対数グラフとはなんぞや」ということを伝えたくて漫画を描きました。「対数グラフで伝染病を見る」(1/3)サイトにpdfファイルでアップしたのでまとめて読みたい人はこちらにどうぞhttps://t.co/mwrRCkZ6AD pic.twitter.com/0USW9Eil0a, このようなグラフ(片対数)を見た一部の人は「なんだこのグラフ、感染者数を少なく見せるインチキじゃないのか」とわけわからないことを言っていました。, そこで、(コロナに限らず)感染者が急激に増えるシーンで片対数グラフが有効な理由を実際にプロットすることで確かめてみましょう。, 実際に感染者のデータを使うのもどうかと思ったので、今回はこちらの感染者シミュレーターを使って実験を行いました。, 例えば、\( \log_{10} x = 1 \) となる \( x \) を満たすためには \( x = 10^1 = 10 \) となればOKですね。, 同じように \( \log_{10} x = 2 \) であれば \( x = 10^2 = 100 \) で満たしますね。, となるように、対数の値が 1, 2, 3, … と等間隔(直線)に増えていく場合、元の数は 1, 10, 100, 1000, … と指数関数(今回は \( 10^x \) 的に)増えていきますね。, 前回の最小2乗法の記事で、何かしらの変形を行って直線にできるものはなんでも最小2乗法にできると説明しましたね。, そのため、どちらか片方が対数目盛であったとしても、直線になるような変形をすれば最小2乗法が適用できますね。, まずは、式をどう変形すれば片対数グラフに対する最小2乗法が適用できるかを考えましょう。, 片対数グラフで直線になるということは、縦軸である \( y \) 側のデータを対数で変換すれば直線になると言い換えられますね。, これを数式的に表すと、\( Y = \log_{10} y \), \( X = x \) とおきかえることで直線 \( Y = aX + b \) が成立すると言い換えられますね。, ここで、直線 \( Y = aX + b \) に対し、\[X = x, \ \ \ Y = \log_{10} y\]を代入し、もとの \( x \), \( y \) の式に戻してあげると\[\log_{10} y = ax + b\]となります。, さらに、両辺を\[\begin{align*}10^{ \log_{10} y } & =10^{ax+b}\\ & = 10^{b} \cdot 10^{ax}\\ & = y\end{align*}\]と変形できます。, ここで、\[y = 10^{b} \cdot 10^{ax}\]の \( 10^{b} \) が煩わしいと思った人は \( b' = 10^{b} \) とでもおいて、\[y = b' 10^{ax}\]としてもOKです。, ここからは、「日数」を \( x \) 軸、「感染者数」を \( y \) 軸として説明していきます。, まず、\[X = x, \ \ \ Y = \log_{10} y\]に変換した後の各データを表に書いてみましょう。, このデータに対し、最小2乗法を適用すると、\[\begin{align*}Y & = 0.1725X + 0.8992\\ & = aX + b\end{align*}\]となります。, この \( a = 0.1725 \), \( b = 0.8992 \) を変換後の式\[y = 10^{b} \cdot 10^{ax}\]に代入してあげましょう。, すると、\[\begin{align*}y & = 10^{0.8992} \cdot 10^{0.1725x}\\ & = 7.292 \cdot 10^{0.1725x}\end{align*}\]という関係式が成立します。, 指数関数的な増減をしそうなデータの回帰直線を求める場合、\[X = x, \ \ \ Y = \log_{10} y\]と置いてから最小2乗法を適用し、\[Y = aX + b\]の , の値を求めると回帰直線\[b = \log_{10} b' \\ y = b' \cdot 10^{ax}\]と変形することができる。, 下の表は、地球を基準(1)としたときの8つの惑星の軌道半径と公転周期を、表したものです。, 両対数グラフを書いて直線になるということは、2つの変数 \( x \), \( y\) に対して\[X = \log_{10} x, \ \ \ Y = \log_{10} y\]とおいたときに直線 \( Y = aX + b \) となるといいかえられます。, まず、直線 \( Y = aX + b \) の式に、\( X = \log_{10} x \), \( Y = \log_{10} y \) を代入します。すると、\[\log_{10} y = a \log_{10} x + b\]となりますね。, ここで、\( b = \log_{10} b' \) とおくと、\[\begin{align*}\log_{10} y & = a \log_{10} x + \log_{10} b'\\ & = \log_{10} x^a + \log_{10} b'\\ & = \log_{10} b' x^a\end{align*}\]となるので、\[10^{ \log_{10} y } = 10^{ \log_{10} b' x^a } \\y = b' x^a \]と変形できます。, (\( b = \log_{10} b' \) なので \( b' = 10^b \) となる。), つまり、データが \( x^2 \), \( x^3 \), … , \( x^a \) のようなべき関数*4な変換をするものに対して、両対数がグラフが有効なものといえます。, ということで、先ほどのこちらのデータに、最小2乗法を適用し、近似式を出してみましょう。, ここで、\[X = \log_{10} x, \ \ \ Y = \log_{10} y\]とおきます。すると、それぞれの星の \( X \), \( Y \) は下のようになります。, このデータに対し、最小2乗法を適用すると、\[\begin{align*}Y & = 1.500X + 5.966 \times 10^{-5} \\ & = aX + b\end{align*}\]となります。, この \( a = 1.500 \), \( b = 5.966 \times 10^{-5} \) を変換後の式\[y = b' x^a \ \ \ ( b' = 10^b )\]に代入してあげましょう。, すると、\[\begin{align*}y & = 10^{5.966 \times 10^{-5}} x^{1.500}\\ & = 1.000 x^{1.500}\end{align*}\]という関係式が成立します。, 少し言い換えると、公転周期 \( T \) の2乗は軌道半径 \( a \) の3乗に比例することを示せましたね。, これを数式で書くと、定数 \( k \) を用いて\[\frac{ T^2 }{ a^3} = k\]となります。, ということで、両対数グラフを用いてケプラーの第3法則を示せましたとさ、めでたしめでたし。, べき関数的な増減をしそうなデータの回帰直線を求める場合、\[X = \log_{10} x, \ \ \ Y = \log_{10} y\]と置いてから最小2乗法を適用し、\[Y = aX + b\]の , の値を求めると回帰直線\[b = \log_{10} b' \ \to \ b' = 10^b \\y = b' \cdot x^a\]と変形することができる。, では、Excelで片対数、両対数の最小2乗法の曲線の傾きと切片を求める方法についてまとめていきます。, まず、求めたい曲線の傾きと切片のデータを選んでから散布図を表示させてから線をクリックし、「近似直線の追加」を選択してください。, ↓ここまでは通常の最小2乗法と同じです。わからなければこちらのほうに図を使ってわかりやすく説明しているのでこちらをご覧ください。, 片対数グラフの回帰曲線 の , の値を求める場合、近似曲線のオプションで「指数近似」を選びましょう。, グラフに数式を表示する、にチェックを入れたら無事\[y = 92.00 e^{-0.08265x}\]と表示されましたね。(数字の表示桁数は各自で調整しましょう。), しかし、底が 10 ではなく になってしまってます。なので直しましょう。\[e^{-0.08265x} = 10^{a'}\]となるような を求めます。\[\log_{e} e^{-0.08265x} = a' \log_{e} 10 \\-0.08265 x = a' \log_{e} 10\]となるので、\[a' = \frac{-0.08265}{\log_{e} 10} = -0.3589 \]となり、\[y = 92.00 10^{-0.3589x}\]と求められます。, 両対数グラフの回帰曲線 の , の値を求める場合、近似曲線のオプションで「累乗近似」を選びましょう。, グラフに数式を表示する、にチェックを入れたら無事\[y = 0.0004630 x^{2.126}\]と表示されましたね。, *1:私が今まで色んな大学の実験の資料を見ると、縦軸を対数軸、横軸を普通(等間隔)の軸になっていることが多かったです。, *3:80,90,100, 200, 300のように100を超えるとさらに値が10倍されるのも が足されているからです。, *4:多項式関数でもいいが、多項式関数だと \( x^{-2} \) のような負の次数をもつべき関数が表現できない。, 数学と情報が得意な大学生です。数学科目と情報科目をわかりやすく説明するブログを作っています!, 【片対数・両対数グラフ】うさぎでもわかる実験の基礎 第3羽 片対数・両対数グラフを用いた最小2乗法, 私が今まで色んな大学の実験の資料を見ると、縦軸を対数軸、横軸を普通(等間隔)の軸になっていることが多かったです。, 80,90,100, 200, 300のように100を超えるとさらに値が10倍されるのも, 多項式関数でもいいが、多項式関数だと \( x^{-2} \) のような負の次数をもつべき関数が表現できない。, \( \log_{10} x = 3 \) の場合 \( x = 10^3 = 1000 \), \( \log_{10} x = 4 \) の場合 \( x = 10^4 = 10000 \), \( \log_{10} x = 5 \) の場合 \( x = 10^5 = 100000 \).
Xd Ãォント ȡ示されない, ť妙な ȋ語 Weird, ȥ武バス Ť休み ŭ供料金, ĺ都 ɘ急百貨店 ɖ店, Âリスタ Âラウド ɖき方, ȇ転車 Ãューブ Âイズ違い, Ɲ海道線 ƙ刻表 œ川, ź島バスセンター ȗの木団地 ƙ刻表, Ɗ ŝ Ƃ太 Ť才, Ƴきたい Ƙ画 ƴ画, ɻい砂漠 Ź想馬 Ãィネ, ſ田未来 Ť ŭ供, ɫ速長田 Ãス ƙ刻表, ĸ代目 Ƙ Á曲, ǟ川 Á土産 Ǖ傘, ɫ松 ō多 Ɩ幹線 Ãック, Âペイン語 ɀ訳 Ʊ人, Ãァミペイ ƥ天ポイント Ɣ払い, Âちゃコミ Ãイント DŽ料, Âフター Âフェクト Wave, Ȼ ɛ動ファン Áるさい, Nec Bios ȇ動起動, Ɲ神奈川駅 ƨ浜線 ƙ刻表, Âーテンレール Ãンナー Ļけ方, Ŧ怪ウォッチぷにぷに Qrコード Ȫみ取れない,