つぎの不定積分を計算せよ。 (1) ∫ x 1 x2 +2x+5 dx d dx (x2 +2x+5) = 2(x+1)だから x 1 x2 +2x+5 x+1 x2 +2x+5 2 x2 +2x+5 と変形して，y = x2 +2x+5 とおくとdy = 2(x+1)dx だから x+1 x2 +2x+5 dx = dy 2y = logjyj+C = 1 2 log(x2 +2x+5)+C.一方，後半の積分はx 2+2x+5 = (x+1) +4 なので，y = (x+1)/2 と書くと 京都大学福井謙一記念研究センター 准教授. 静岡大学理学部. 2007年頃からただただ定積分を解く問題が京都大学で出題されるようになりました。2019年でもその傾向は変わらず、第1問で出題されています。しかもこの問題は2007年の大問1(1)の劣化版のような問題でした。このように、定積分の問題を出題するようになったことから、京大は「発想力」よりも「計算力」を持つ人材、確実に計算を実行できる人材を欲するようになったということでしょうか。特に2011年はその傾向が顕著で、最後の問題以外は受験生なら誰でもすぐに解法が思いつくような問題ばかりで、「確実に計算を合わせる」力が問われていたと思います。, 今までの定積分の問題を見ても、そろそろネタが尽きてくる頃で、予想しがいのある頃合いかと思います。そこで、次のような問題を考えてみました。, おそらく長い入試問題の歴史を遡れば、どこかの大学のどこかの年で出題されたことがある問題だとは思います。そもそも2019年の問題が、そのままの形で問題集にも載っているような問題であることを考えれば、定積分の問題では類似性はあまり問われないでしょう。, この問題では逆関数を含んでいますが、逆関数と積分が混合した形はあまり見られないと思いますし、この形の計算自体がそれなりに複雑で、「置換積分」「部分積分」「三角関数の変形」など色々なテーマを含んでいるので京大好みかと思います。難易度は高くないので、是非トライしてみてください。, $$x=0 \rightarrow t=0,\ x=1 \rightarrow t=\frac{\pi}{2},\ dx = \cos{t}dt$$, $$\int_{0}^{1}x^{2}f^{-1}(x)dx=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}t\cdot\sin^{2}{t}\cos{t}dt$$, $$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}t\cdot\sin^{2}{t}\cos{t}dt=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}t\cdot\left(\frac{1}{3}\sin^{3}{t}\right)^{\prime}dt$$, $$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}t\cdot\left(\frac{1}{3}\sin^{3}{t}\right)^{\prime}dt = \left[t\cdot\frac{1}{3}\sin^{3}{t} \right]^{\frac{\pi}{2}}_{0}-\frac{1}{3}\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\sin^{3}{t}dt$$, 前半はただ代入をすれば良いだけですが、後半はさらに少し変形して次のように計算します。, $$\frac{1}{3}\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\sin^{3}{t}dt = \frac{1}{3}\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\sin{t}(1-\cos^{2}{t})$$, $$\frac{1}{3}\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\sin{t}(1-\cos^{2}{t}) = \frac{1}{3}\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\sin{t}dt-\frac{1}{3}\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\sin{t}\cos^{2}{t}$$, $$\frac{1}{3}\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\sin{t}(1-\cos^{2}{t}) = \frac{1}{3}\left[-\cos{t}\right]^{\frac{\pi}{2}}_{0}+\frac{1}{9}\left[\cos^{3}{t}\right]_{0}^{\frac{\pi}{2}} = \frac{1}{3}-\frac{1}{9} = \frac{2}{9}$$, $$\left[t\cdot\frac{1}{3}\sin^{3}{t} \right]^{\frac{\pi}{2}}_{0}-\frac{1}{3}\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\sin^{3}{t}dt = \frac{\pi}{2}\cdot\frac{1}{3}-\frac{2}{9} = \frac{\pi}{6}-\frac{2}{9}$$, いかがでしょうか。そもそも私の計算の誤り・論理の不備等ございましたらご指摘いただけると助かります。, 次回のコメントで使用するためブラウザーに自分の名前、メールアドレス、サイトを保存する。, 名前：ねむる亀 年齢：30代 職：「物理」博士課程の学生 兼 研究員 指導経験：塾講師として4年間。中学1年生から高校3年生まで 経歴：文系の私立大学を卒業後、1年間予備校で勉強して、理系の国公立大学に進学。そのまま学部・修士を卒業、博士に進学。 趣味：将棋 座右の銘：常笑不廃 好きな映画：「男はつらいよ」「釣りバカ日誌」 好きな俳優：吉岡秀隆 好きなゲーム：FF9 好きなアニメ：「逆境無頼カイジ」 好きな漫画：「ハンターハンター」「ダイヤのA」 死ぬ前に食べたいもの：日○屋の担々麺, 難関国公立大学の入試問題では、ユニークな整数問題がよく出題されます。特に剰余の性質を使って整数の存在条件を与える問題をたまに見かけます。その類題となるような問題となれば良いと思い、自作問題を考えました。よろしければ解いてみてください。, エレベーターとクレーンを具体例として巻上げ機の原理と所要出力の計算および変圧器の誘導起電力の計算について考える, 直流電動機（直巻・分巻・他励）の仕組みとポンプと送風機の理論動力・所要出力について考える. 1. 積分とは「微分の反対」に相当する操作で、関数 \(f(x)\) を使って囲まれた部分の面積を求めることを意味します。, 例えば $\displaystyle \int_a^b f(x) dx$ は「\(x\)軸 \(,y=f(x)\) \(,x=a\) \(,x=b\) で囲まれた部分の（符号付き）面積」を求めることを意味します。（ただし \(x\) 軸の下側にある部分の面積はマイナスとする）, 例えば $\displaystyle \int_1^3 (x^2-3x+4) dx$ は、下図の黄色い部分の面積を求めることを意味します。, 実際に計算してみると、$\displaystyle \int_1^3 (x^2-3x+4) dx=\dfrac{14}{3}$ と求まります。, $\displaystyle \int_{-1}^3 (x^2-2x) dx$ は、下図の黄色い部分の面積から青い部分の面積を引いた値を求めることを意味します。, 実際に計算してみると、$\displaystyle \int_{-1}^3 (x^2-2x) dx=\dfrac{4}{3}$ と求まります。, これは、2つの黄色い図形 \(4/3×2\) と青い部分 \(-4/3\) から成り立っています。, 【まとめ】$\displaystyle \int_a^b f(x) dx$ は「\(x\)軸 \(,y=f(x)\) \(,x=a\) \(,x=b\) で囲まれた部分の符号付き面積」を求めることを意味する。（ただし \(x\) 軸の下側にある部分の面積はマイナスとする）, さて、それではなぜ $\displaystyle \int_a^b f(x) dx$ が「\(x\)軸 \(,y=f(x)\) \(,x=a\) \(,x=b\) で囲まれた部分の符号付き面積」となるのでしょうか？, その答えは、「\(x\)軸 \(,y=f(x)\) \(,x=a\) \(,x=t\) で囲まれた部分の符号付き面積」を \(S(t)\) とおいて、\(t\) を少しずつ大きくしていくと分かります。, \(t\) を少しだけ大きくして \(t+h\) にしたとき、\(S(t)\) は \(S(t+h)-S(t)\) の分だけ大きくなります。, このオレンジ色の部分の面積は、明らかに「下図の青い部分より大きく」「下図の青＋赤より小さい」ですよね。, \(S(t)\) を微分した関数である \(S'(t)\) が \(f(t)\) と一致することが分かります。, \(S(b)\) 、すなわち「\(x\)軸、\(y=f(x)\)、\(x=a\)、\(x=b\) で囲まれた部分の符号付き面積」, これが、$\displaystyle \int_a^b f(x) dx$ が「\(x\)軸、\(y=f(x)\)、\(x=a\)、\(x=b\) で囲まれた部分の符号付き面積」となる理由です。, 統計学では、「連続確率分布に従う確率変数が \(a\) 以上 \(b\) 以下の値をとる確率」を求めるのに積分の考え方が利用されています。, 「このくらい売れる確率がこのくらいある」という計算の根拠が分かると、ビジネスの戦略の幅は一気に広がります。ぜひ積分をマスターしておきましょう！, 下図の赤い図形と比べると黄色の面積が \(\dfrac{14}{3}\) くらいになるのを実感できます。, 「 \(x\) 軸の下側にある部分の面積はマイナスとする」のが重要なポイントですね。, 円周の求め方・円周率とは何か・なぜ無限に続くのかを説明。その割り切れない理由について, 分数の割り算はなぜひっくり返してかけるのか？その理由を説明する3つの教え方【逆数をかける理由】, 素数とは何か。素数の一覧とその利点について【1と自分自身でしか割り切れない数の強みとは？】.
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