S_5=\displaystyle\sum_{k=1}^nk^5=\dfrac{1}{12}n^2(n+1)^2(2n^2+2n-1)$, 数列 $a_n$ に対して，その母関数を © 2014--2020 高校数学の美しい物語 All rights reserved. および漸化式： $a_na_{n-k}=\displaystyle\sum_{i=1}^{\lfloor k/2\rfloor}a_{n-i}a_{n-k+i}$ によって定まる数列 $p_n$ をペラン数列と言う。, 円周上に $n$ 個の頂点を打ち，その全ての2頂点間を線分で結ぶ。このとき，円は $M$ 個の領域に分割されるとする。 の3通りの解き方を，例題を通じて解説します。, 分数で表された数列の和を計算する頻出問題を解説します。さらに，その問題を一般化してみます。, この記事では，以下のような数列について考えます。 $S_4=\displaystyle\sum_{k=1}^nk^4=\dfrac{1}{30}n(n+1)(2n+1)(3n^2+3n-1)\\ 和の記号シグマに関する計算をすばやく行うための公式を3つ紹介します。2つのシグマ（二重和）計算についても扱います。, フィボナッチ数列とは，1,1,2,3,5,8,13,21 のように，各項が「前の2つを足した値」になるような数列のこと。, $S_1=\displaystyle\sum_{k=1}^nk=\dfrac{1}{2}n(n+1)\\ 2A．正の無限大に発散する $2$ 以上の自然数 $k$ に対して， $b_{n+1}=Ca_n+Db_n$ 計算問題①. 漸化式の解き方全パターンまとめ！難しい問題を攻略しよう 階差数列の【計算問題】 それでは、階差数列の計算問題を解いていきましょう。 計算問題①. 大学受験(高校数学)の数iib(2b)の問題を掲載しています。問題はジャンル別にしてあります。解と係数、加法定理、対数、ベクトル、微分、積分、帰納法、三角関数、円と直線、数列、証明問題など入試問題がはほとんどです。ぜひ楽しんでください。 初期条件：$a_0=a_1=\cdots=a_{k-1}=1$ $1+\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{8}+\cdots$ $p_n=p_{n-2}+p_{n-3}\:(n\geq 3)$ © 2020 受験辞典 All rights reserved. 1, 11, 21, 1211, 111221, 312211, $\dots$ レベル: ★ 基本公式 等比数列とは，$1,3,9,27,81$ のように「一定の比率で変化していく」ような数列の … は無限に続く等比数列の和なので，無限等比級数です。, 初項が $a$，公差が $d$，項数が $n$ であるような等差数列の和は， $S=\dfrac{1}{2}n(2a+(n-1)d)$, 数列 $a_n$ の一般項を求めるために，階差数列 $b_n=a_{n+1}-a_{n}$ を用いるとうまくいくことがある。, $0$ 以上 $1$ 以下であり，分母が $n$ 以下であるような既約分数を小さい順に並べた数列を（$n$ に対応する）ファレイ数列という。, コッホ曲線と呼ばれる有名なフラクタル図形について解説します。コッホ雪片の長さ，面積は大学入試問題（数列の極限の問題）としても妥当なレベルです。, $p_0=3,p_1=0,p_2=2$, S_3=\displaystyle\sum_{k=1}^nk^3=\{\dfrac{1}{2}n(n+1)\}^2$ と定義する。, $f(n)$ が多項式のとき二項間漸化式 任意の正の整数は「連続しない」フィボナッチ数の和で一意に表すことができる。, 数列の極限は， の3通りの解法と，それぞれのメリットデメリットを解説します。, 一般項を求めるのが難しそうな漸化式を，三角関数を用いて求めることができる例を2つ紹介します。, 任意の自然数 $p$ に対して， 初項 \(\bf{a_1}\) で、階差数列 \(\bf{b_n = f(n)}\) をもつ数列, \(\displaystyle \sum_{k = 1}^n k = \frac{1}{2} n(n + 1)\), \(\displaystyle \sum_{k = 1}^n k^2 = \frac{1}{6} n(n + 1)(2n + 1)\), \(\displaystyle \sum_{k = 1}^n k^3 = \left\{ \frac{1}{2} n(n + 1) \right\}^2\), \(\displaystyle \sum_{k = 1}^n ar^{k − 1} = \frac{a(1 − r^n)}{1 − r} = \frac{a(r^n − 1)}{r − 1}\). 3．振動する で定義される数列をソモスの数列という。, 主に有理数の連分数展開に関する基本的な知識を解説します。連分数を背景とした入試問題もいくつか出題されています。, 等比数列とは，$1,3,9,27,81$ のように「一定の比率で変化していく」ような数列のことです。$1+3+9+27+81$ のような等比数列の和は，等比数列の和の公式を使って計算することができます。, ゼッケンドルフの定理（Zeckendorf）： この記事では、階差数列の意味や公式（階差数列の和を使った一般項の求め方）についてわかりやすく解説していきます。, 漸化式の解き方なども説明していくので、この記事を通してぜひマスターしてくださいね！, 数列 \(\{a_n\}\) の階差数列を \(\{b_n\}\) とすると、以下のように表すことができます。, 以下の例のように、数列 \(\{a_n\}\) の規則性がわかりにくい場合でも、階差数列をとると規則性が見えてくることがあります。, \begin{align}\bf{\color{salmon}{a_n = a_1 + \sum_{k = 1}^{n − 1} b_k}}\end{align}, 「数列 \(\{a_n\}\) の規則性はよくわからないけれど、階差数列 \(\{b_n\}\) は等差数列または等比数列になっている！」という場合に、この公式で数列 \(\{a_n\}\) の一般項を求めることができます。, 数列 \(\{a_n\}\) の階差数列 \(\{b_n\}\) は、以下のように表すことができましたね。, つまり、\(\bf{a_1 +}\) (\(\bf{b_1}\) から \(\bf{b_{n − 1}}\) までの和) であることがわかりますね。, \(\begin{align} a_n &= a_1 + b_1 + b_2 + \cdots + b_{n − 1} \\ &= \color{red}{a_1 + \sum_{k = 1}^{n − 1} b_k} \end{align}\), シグマの和の範囲を \(1\) ~ \(n\) と間違えてしまう人も多いので、公式の成り立ちをよく理解しておきましょう！（正しくは \(1\) ~ \(n − 1\)）, 階差数列ではシグマの計算を多用するので、公式を忘れたという方は復習しておきましょう。, \(\{b_n\}\) は、初項 \(5\)、公差 \(2\) の等差数列であるから、, \(\begin{align} b_n &= 5 + 2(n − 1) \\ &= 2n + 3 \end{align}\), 階差数列の一般項がわかれば、あとは先ほどの公式を使って数列 \(\{a_n\}\) の一般項が求められます。, 階差数列の公式が、\(n \geq 2\) という条件があることに注意しましょう。, 初項 \(a_1\) の値には階差数列が関係ないので、この公式で求めた一般項が初項 \(a_1\) にも当てはまるとは限りません。, よって、一般項を求めたあとは \(n = 1\) を代入して、与えられた初項と一致するかを確認するのがルールです。, \(\begin{align} a_n &= a_1 + \sum_{k = 1}^{n − 1} (2k + 3) \\ &= 6 + 2 \cdot \frac{1}{2} (n − 1)n + 3(n − 1) \\ &= 6 + n^2 − n + 3n − 3 \\ &= n^2 + 2n + 3 \end{align}\), \(\bf{a_{n + 1} = a_n + f(n)}\) （\(f(n)\) は \(n\) の多項式）の形で表された漸化式は、「階差型」と呼ばれます。, \(a_n\) を移項すると、\(\bf{a_{n + 1} − a_n = f(n)}\)となり、\(f(n)\) が数列 \(\{a_n\}\) の階差数列であると見ることができますね。, 漸化式 \(\bf{a_{n + 1} = a_n + f(n)}\) で示される数列 \(\{a_n\}\) は、, 初項 \(\bf{a_1}\) で、階差数列 \(\bf{b_n = f(n)}\) をもつ数列である。, また、階差型を含むさまざまなパターンの漸化式については以下の記事を参考にしてくださいね！, \(\begin{align} b_n &= 1 + 6(n − 1) \\ &= 6n − 5 \end{align}\), \(\begin{align} a_n &= a_1 + \sum_{k = 1}^{n − 1} (6k − 5) \\ &= 1 + 6 \cdot \frac{1}{2} (n − 1)n − 5(n − 1) \\ &= 1 + 3n^2 − 3n − 5n + 5 \\ &= 3n^2 − 8n + 6 \end{align}\), \(3 \cdot 1^2 − 8 \cdot 1 + 6 = 1 = a_1\) より、, \(\{a_n\}\) の階差数列を調べてみると、\(1, 2, 5, 10, 17, \cdots\) となり、等差でも等比でもないようです。, さらに、数列 \(\{b_n\}\) の階差数列を \(\{c_n\}\) とすると、, \(\{c_n\}\) は初項 \(1\)、公差 \(2\) の等差数列であるから, \(\begin{align} c_n &= 1 + 2(n − 1) \\ &= 2n − 1 \end{align}\), \(\begin{align} b_n &= b_1 + \sum_{k = 1}^{n − 1} (2k − 1) \\ &= 1 + 2 \cdot \frac{1}{2} (n − 1)n − (n − 1) \\ &= 1 + n^2 − n − n + 1 \\ &= n^2 − 2n + 2 \end{align}\), \(1^2 − 2 \cdot 1 + 2 = 1 = b_1\) より、\(n = 1\) のときも成り立つ。, \(= \displaystyle a_1 + \sum_{k = 1}^{n − 1} (k^2 − 2k + 2)\), \(= 1 + \displaystyle \frac{1}{6} (n − 1)n(2n − 1) \\ \,\,\,\,\,\,\, − 2 \cdot \displaystyle \frac{1}{2} (n − 1)n + 2(n − 1)\), \(= 1 + \displaystyle \frac{1}{6} (2n^3 − 3n^2 + n) \\ \,\,\,\,\,\,\,\,\,\, − n^2 + n + 2n − 2\), \(= \displaystyle \frac{2n^3 − 9n^2 + 19n − 6}{6}\), \(\displaystyle \frac{2 \cdot 1^3 − 9 \cdot 1^2 + 19 \cdot 1 − 6}{6} = 1 = a_1 \), \(\displaystyle a_n = \frac{2n^3 − 9n^2 + 19n − 6}{6}\), 答え： \(\color{red}{\displaystyle a_n = \frac{2n^3 − 9n^2 + 19n − 6}{6}}\), \(a_1 = 1\), \(a_{n + 1} = a_n + 2^n − 2n\), \(a_{n + 1} − a_n = 2^n − 2n = b_n\) とみると、階差型の漸化式ですね。, 数列 \(\{a_n\}\) は一般項 \(b_n = 2^n − 2n\) の階差数列をもつ。, \(\begin{align} a_n &= a_1 + \sum_{k = 1}^{n − 1} (2^k − 2k) \\ &= 1 + \frac{2(2^{n − 1} − 1)}{2 − 1} − 2 \cdot \frac{1}{2} (n − 1)n \\ &= 1 + 2^n − 2 − n^2 + n \\ &= 2^n − n^2 + n − 1 \end{align}\), 答え： \(\color{red}{a_n = 2^n − n^2 + n − 1}\). を解く方法を2通り紹介します。2つ目の方法「一般項を予想する」というのが計算量が少ないのでオススメです！, 三項間漸化式： 2B．負の無限大に発散する $a_{n+2}=pa_{n+1}+qa_n$ は2通りの方法で計算できる。, $a_0=2, a_{n+1}=a_n^2-a_n+1$ $a_{n+1}=pa_n+f(n)$ 数列パズルです。徐々に難しくなってきます。でも、安心してください。レベル分けされた解説で誰でも理解できます！！レッツ、チャレンジ！, 【問題】数がある規則で並んでいます。〇に当てはまる数は？「1，3，〇，7，9・・・」, ＜かいせつ（やさしい）＞「1」からはじまり、２番目からは前の数に「２」を足した数。よって、「〇」の前は「３」なので「３＋２＝５」で答えは「５」になる。さいごにあっているかたしかめよう！「１」「１＋２＝３」「３＋２＝５」「５＋２＝７」「７＋２＝９」どうやらあっているみたいだ！これでかんぺきだね！, ＜解説（難しい）＞等差数列の一般項をつかって考えてみよう！初項：１，公差：２，第３項を求めたい。〇 ＝ １ ＋ ２ × （３ － １）＝ ５よって、答えは「５」である。, 【問題】数がある規則で並んでいます。〇に当てはまる数は？「2，6，〇，54，162・・・」, ＜かいせつ（やさしい）＞「2」からはじまり、２番目からは前の数に「３」をかけた数。よって、「〇」の前は「６」なので「６×３＝１８」で答えは「１８」になる。さいごに、あっているかたしかめよう！「2」「2×3=6」「6×3=18」「18×3＝54」「54×3=162」どうやらあっているみたいだ！これでかんぺきだね！, ＜解説（難しい）＞等比数列の一般項をつかって考えてみよう！初項：２，公比：３，第３項を求めたい。〇 ＝ ２ × ３ ＾ （３ － １）＝ １８よって、答えは「１８」である。, 【問題】数がある規則で並んでいます。〇に当てはまる数は？「1，3，5，〇，15，45」, ＜かいせつ（やさしい）＞前から１番目「１」と後ろから１番目「４５」，前から２番目「３」と後ろから２番目「１５」はどちらもかけると「４５」になる。つまり、前から３番目「５」と後ろから３番目「〇」もかけると「４５」になるはず。よって、「５×〇=４５」は「４５÷５＝〇」なので「４５÷５＝９」こたえは「９」です。できたね！, ＜解説（普通）＞「・・・」がない。つまり、個数が有限である。どうやら、「45」の約数の昇順みたいだ。よって、「４５」の約数の４番目は「９」である。, 【問題】数がある規則で並んでいます。〇に当てはまる数は？「6，28，〇，8128・・・」, ＜解説（難しい）＞簡単にいうとこの並びは「完全数」の昇順である。完全数とは、「自分自身を除く正の約数の和と等しくなる自然数」つまり、「正の約数の和が自分自身の２倍になる自然数」である。「６」の約数の和は「１＋２＋３＋６＝１２」で、それは「６×２＝１２」に等しい。「２８」の約数の和は「１＋２＋４＋７＋１４＋２８＝５６」で、それは「２８×２＝５６」に等しい。「８１２８」も同様である。では、「〇」に当てはまるのは・・・。ごめんなさい。これは完全に知識になります。さすがに「２９」から順番に試すわけにもいきません。途方にくれます。答えは「４９６」。確認：「４９６」の約数の和は「１+２+４+８+１６+３１+６２+１２８+２４８＋４９６＝９９２」で、それは「４９６×２＝９９２」に等しい。つまり完全数である。, 【問題】数がある規則で並んでいます。〇に当てはまる数は？「1，1，2，〇，5・・・」, ＜かいせつ（やさしい）＞１番目と２番目が「１」で，３番目からは前の２つの数字を足した数です。つまり、「〇」の２つ前「１」と１つ前「２」の和は「１＋２＝３」なので、こたえは「３」です。さいごに、あっているかたしかめよう！「１」「１」「１＋１＝２」「１＋２=３」「２＋３＝５」どうやらあっているみたいだ！これでかんぺきだね！, ＜解説（難しい）＞この数列を「フィボナッチ数列」と判断できれば簡単。フィボナッチ数列とは、初項と第２項が「１」で、第３項以降は前２つの項の和になっている数列である。, a_1 = 1, a_2 = 1, a_n = a_(n-2) + a_(n-1) (n>=3), a_1 = 1, a_2 = 1a_3 = a_1 + a_2 = 1 + 1 = 2a_4 = a_2 + a_3 = 1 + 2 = 3よって、答えは「３」である。, Quiz noteの数学のクイズをまとめています。様々なレベルで解説しているので、どなたにも理解できます！！渾身の問題を是非解いて見てください！. note発の期間限定クイズメディア【Quiz note】へようこそ！ 1．（有限の値に）収束する $M$ の最大値は $a_n=\dfrac{1}{24}(n^4-6n^3+23n^2-18n+24)$, Moser’s circle problem という問題です。数列 $\{a_n\}$ をモーザー数列と言います。, $a_{n+1}=\dfrac{Aa_{n}+B}{Ca_n+D}\:(C\neq 0)$ という漸化式で表される数列の一般項を求める問題について考えます。, 連立漸化式： 連分数を背景とした入試問題もいくつか出題されています。 等比数列の和の公式の証明といろいろな例. $S_n=\displaystyle\sum_{k=1}^nk^pr^k$ 面白い性質と規則性を持った数列です。. Welcome to "Quiz note" ! 数列パズルです。徐々に難しくなってきます。 でも、安心してください。レベル分けされた解説で誰でも理解できます！！ レッツ、チャレンジ！ 記事を読む前に四択形式で力試しする（Googleフォーム） 記事を読む前に記述形式で力試しする（Googleフォーム） 問題「数がある規則で …
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