線形 代数 非退化 6

> rk =rk+1 =rk+2 =. = \left[ {\displaystyle G^{\circ }} 一方、B に注目すれば B も正則行列で、A は B の逆行列である。, 行列の正則性は行列の基本変形を使って判定できる[9]。 {\displaystyle {\bar {k}}} <> n . A を n 次正方行列とし, これが与える Kn の線形変換 f(=LA) とかく． 0 & 4 \\ G %PDF-1.5 とペアで複素共役な虚数µ1, µ1, µ2, µ2, . \begin{array}{} O 第 I 部と第 II 部では連立 1 次方程式の解法と行列式の計算を主に がある自然数 n に対して \begin{array}{l} \end{array} \end{array} 4.9 線形写像の階数と退化 次数 ... と表記する． また，核 の次元を 退化次数（nullity ... を となるように選べば， 非同次方程式 の一般解が存在する． このとき，一般解は となる． {\displaystyle B_{\bar {k}}} しかしこの方法は逆行列を数値計算するのには向かない[10][11][12]。, https://ja.wikipedia.org/w/index.php?title=正則行列&oldid=79702430. b_{n+1} \\ \right] , \left[ \right] } が半単純あるいは簡約であることを指す。例えば、適当な体 k 上の行列式 1 の n 次行列からなる群 SLn は半単純である一方、非自明なトーラスは簡約であるが半単純ではない。同様に、GLn も簡約であるが半単純でない（なぜならば中心 Gm が非自明で滑らかな連結可解正規部分群だから）。, 任意のコンパクト連結リー群は複素化（英語版）と呼ばれる複素簡約代数群を持つ。その上、この構成はコンパクト連結リー群と複素簡約群の同型類に対して一対一対応を与える[22][23]。, 体 k 上の線型代数群 G は半単純かつ非自明で k 上 G のどんな滑らかな連結正規部分群も自明であるとき、単純 simple （あるいは k-simple）と呼ばれる[24]。（この性質を almost simple と呼ぶ著者もいる。）この用語は抽象群のものとは僅かに異なっており、単純代数群は非自明な中心を持つことがある（ただし中心は必ず有限になる）。例えば、2 以上の整数 n と体 k に関して、k 上の群 SLn は単純で、その中心は 1 の n 乗根の群スキーム μn である。, 完全体 k 上の連結線型代数群 G は簡約群 R の滑らかな連結べき単群 U による（一意的な）拡大である：, U は G のべき単根基 unipotent radical と呼ばれる。もし k の標数がゼロならば、より精密にレビ分解（英語版） Levi decomposition を持つ：k 上の線形代数群 G は簡約群のべき単群による半直積 R ⋉ U である[25]。, 簡約群は実際問題として現れる古典群（英語版）——GLn, SLn, 直交群 SOn, 斜交群 Sp2n——などの重要な線型代数群の多くを含んでいる。一方で、簡約群の定義は極めて「消極的」であり、多くを語ることができるのか明らかではない。驚くべきことに、クロード・シュヴァレーは代数的閉体上の簡約群の完全な分類を与えた：それらはルート・データ（英語版）によって決定される[26]。特に、代数的閉体 k 上の単純群は（有限中心的部分群スキームによる商を除いて）そのディンキン図形によって分類される。特筆すべきことに、この分類は k の標数に依存しない。例えば、例外型リー群 G2, F4, E6, E7, E8 はどんな標数でも（さらに Z 上の群スキームとしてさえも）定義することができる。有限単純群の分類は多くの有限単純群が有限体 k 上の単純代数群かその亜種の k 有理点のなす群として生じると述べている。, 体上の簡約群はトーラスとある単純群との直積の有限中心的部分群スキームによる商である。例えば, 任意の体 k に関して、簡約群 G は k 上の極大分裂トーラス（つまり、G に含まれる分裂トーラスであって、k の代数的閉包上でも極大である）を含むならば分裂 split するという。例えば、GLn はどんな体 k 上でも分裂簡約群である。シュヴァレーは分裂簡約群の分類はどんな体上でも同じであることを示した。それとは対照的に、任意の簡約群の分類は難しいこともあり、基礎体に依存する。例えば、体 k 上の任意の非退化二次形式 q は簡約群 SO(q) を定め、k 上の任意の中心的単純多元環 A は簡約群 SL1(A) を定める。その結果、k 上の簡約群の分類問題は本質的に k 上の二次形式や k 上の中心的単純多元環の分類問題を含んでいる。これらの問題は k が代数的閉体のときは易しいし、数体などいくつかの体上では理解されているが、任意の体上では多くの未解決問題がある。, 簡約群が重要である理由のひとつは表現論に由来する。べき単群が持つ任意の既約表現は自明である。より一般に、線型代数群 G をべき単群 U の簡約群 R による拡大, として書いたとき、G が持つ任意の既約表現は R を経由 factors through する[27]。この事実は焦点を簡約群の表現論へと絞り込む。（ここで言う表現とは、G の〈代数群としての〉表現である。したがって、体 k 上の群 G に関して、表現とは k ベクトル空間であり、G の作用は正則関数で与えられている。それは重要である一方、実簡約群 G に対して群 G(R) の連続表現を分類する問題〔あるいは他の体上における類似〕とは異なる。）, シュヴァレーは体 k 上の分裂簡約群が持つ既約表現は有限次元であり、支配的ウェイト（英語版）により径数付けられることを示した[28]。これはコンパクト連結リー群の表現論や複素半単純リー代数の表現論で起きていたことと同様である。標数がゼロである k に関して、これらの理論は本質的には等価である。特に、標数ゼロの体上の簡約群 G が持つ任意の表現は既約表現の直和であり、G が分裂しているならば、既約表現の指標はワイルの指標公式により与えられる。ボレル＝ヴェイユの定理は標数ゼロのとき簡約群 G が持つ既約表現の幾何学的構成を旗多様体 G/B 上の直線束の切断の空間として与える。, 正標数 p の体上における（トーラスでない）簡約群の表現論はよく理解されているわけではない。この状況では、表現が既約表現の直和であるとは限らない。さらに、既約表現は支配的ウェイトで径数付けられるものの、その次元や指標は限られた場合にしか知られていない。Andersen, Jantzen & Soergel (1994) は群のコクセター数（英語版）に対して標数 p が十分大きいときに（ルスティック予想を証明することで）これらの指標を決定した。小さな素数 p に対しては、未だ明瞭な予想すら存在しない。, 線型代数群 G の体 k 上定義された代数多様体（あるいはスキーム）X への作用（英語版）とは射, 群作用の理論の一端として、幾何学的不変式論は線型代数群 G の代数多様体 X への作用の軌道全体の成す集合を記述する商多様体 X/G を構成することを目的とするものだが、これには様々な困難が生じる。たとえば X がアフィン代数多様体ならば X/G を 不変式環（英語版） O(X)G のスペクトル Spec O(X)G として構成しようと試みることはできるけれども、永田雅宜は「不変式環は必ずしも k-代数として有限生成でない」（したがって、不変式環のスペクトルも一般には代数多様体でないスキームとなる）というヒルベルトの第14問題（英語版）に対する否定的解答を示した。肯定的な方向での解答として「G が簡約群ならば対応する不変式環が有限生成である」というハバッシュの定理（英語版）が、標数 0 の場合にはヒルベルトと永田により証明されている。, 簡約群 G が射影代数多様体 X に作用するとき、幾何学的不変式論にはさらに微妙な問題が含まれてくる。特に、その理論では X の「固定」点および「半固定」点 ("stable" and "semistable" points) からなる開部分集合を定めるが、そのための商射は半固定点集合上でしか定義されない。, 線型代数群の変種としていくつかの方向性が考えられる。逆写像 かつ = \left[ \end{array} G \begin{array}{rrr} a_{n} n 正則行列（せいそくぎょうれつ、英: regular matrix ）、非特異行列（ひとくいぎょうれつ、英: non-singular matrix ）あるいは可逆行列（かぎゃくぎょうれつ、英: invertible matrix ）とは、行列の通常の積に関する逆元を持つ正方行列のことである。 この逆元を、元の正方行列の逆行列という。 %���� Q . a_{n+1} \\ 先週末は津田塾大学数学・計算機科学研究所主催のオンライン研究集会「非線形波動から可積分系へ」に参加しました。時差6時間は辛かった。(-_-;; 両日とも日本時間10時＝モスクワ時間朝4時に開始なので、金曜日は早く寝て土曜日朝3… �J�]�u��_j�B�p�a��H�`�~F����R�o8Wx~c`��P��" O \begin{array}{} \right. ( ( となるので結局正則行列ならば正方行列なのである）, このとき AB = E = BA を満たすので、A は正則行列で[3]、B は A の逆行列である。 \right] \right] \end{array} {\displaystyle BA=E_{n}} \begin{array}{} $$, $$\left[\begin{matrix}6 \cdot 3^{n - 2} \left(n - 1\right) + 5 \cdot 3^{n - 1}\\2 \cdot 3^{n - 2} \left(n - 1\right) + 3^{n - 1}\end{matrix}\right]$$, $$\left [ \left ( 3, \quad 2, \quad \left [ \left[\begin{matrix}3\\1\end{matrix}\right]\right ]\right )\right ]$$, $$\left ( \left[\begin{matrix}3 & 1\\1 & 0\end{matrix}\right], \quad \left[\begin{matrix}3 & 1\\0 & 3\end{matrix}\right]\right )$$, $$ , \end{array} G { る, 志の高い線形代数の本に挑戦するための基礎力(行間を埋める能力)も身についているはずである. \right] (γ) またその条件が満たされるとき, A2 = AP を満たす正則行列 P を 1 つ求, 6 *6. \begin{array}{l} \right] Copyright © 2016-2020 おぐえもん All Rights Reserved. : (iii) f の核 Kerf と像 Imf の共通部分が零ベクトル 0 だけからなる. ( クトルで， v1, v2, . b_{n} \\ A^{n-1} \left[ a_{n+1} {\displaystyle G({\bar {k}})} のボレル部分群である k 上の部分群と定義される。したがって G は k 上ではボレル部分群を持たないこともある。, G の閉部分群スキーム H に関して、商空間 G/H は k 上滑らかな準射影的スキームである[19]。連結群 G の滑らかな部分群 P は G/P が k 上射影的（あるいは k 上固有的）であるとき放物型（英語版） parabolic という。ボレル部分群 B の重要な性質として、 G/B は旗多様体 flag variety と呼ばれる射影多様体になる。つまり、ボレル部分群は放物型部分群である。より精密には、代数的閉体 k に関して、ボレル部分群は G の極小放物型部分群に他ならない。逆に、ボレル部分群を含む任意の部分群は放物型である[20]。したがって、固定したボレル群を含む G の線型代数部分群をすべて列挙することで、G の放物型部分群を G(k) 共役を除いてすべて列挙することができる。例えば、k 上の部分群 P ⊂ GL3 で上三角行列からなるボレル部分群 B3 を含むものは, である。対応する等質射影多様体（英語版） projective homogeneous varieties GL3/P は、それぞれ, 代数的閉体上の連結線型代数群 G が半単純 semisimple であるとは、G のどんな滑らかで連結な可解正規部分群も自明であることを指す。より一般に、代数的閉体上の連結線型代数群 G が簡約 reductive であるとは、G のどんな滑らかで連結なべき単正規部分群も自明であることを指す[21]。（簡約群に連結性を要請しない著者もいる。）半単純群は簡約群である。任意の体 k 上の群 G が半単純あるいは簡約であるとは、 ¯ , xs, ys は Rn の正規直交基底． \left[ \right] 線形代数って何？ 初めて線形代数に触れる人にとって、そもそも「線形代数って何？」って感じですよね。 線形代数とはズバリ、線形写像の性質について色々考える数学の一分野です！ …と言われても意味が分からないですよね（笑） 䕖�y䕊�Q��F0�[G-U�ᨥ���}�`�ާ��4û6W��|DN��&r��N�ʟ�q�'nb?F�tu��&��pO�ծ�Pj�!�j��a�Z�a5�&j�L��95��EP�R+�z �@�݆��=�ı���~M�us�+9��m:��m� = ( \left[ n ¯ ¯ を成立させるn×m行列 Bが存在するとき Aを正則という」。 \left[ \begin{array}{} \right] { a_{n+1} \\ a_{n+1} = 2a_n + b_n \\ , λr) と n a_{n} \begin{array}{rrr} i \begin{array}{rrr} A O 連立漸化式. \end{array} \end{array} n g , → \begin{array}{rrr} . O endobj のリー部分代数すべてが G の代数部分群と対応するわけではない。（C 上のトーラス G = (Gm)2 がそのような例である。）正標数の場合には、同じリー代数を定める G の連結部分群はいくつも存在し得る。（重ねてトーラス G = (Gm)2 がそのような例である。）このような理由で、代数群のリー代数は重要ではあるものの、代数群の構造論にはより大域的な道具立てが必要とされる。, 代数的閉体 k に関して、行列 g ∈ GLn(k) は対角化可能であるとき半単純 semisimple と呼ばれ、g − 1 がべき零であるときべき単 unipotent と呼ばれる。言い換えると、 g がべき単であるのは g のすべての固有値が 1 と等しいことである。正則行列の乗法的ジョルダン分解はすべての行列 g ∈ GLn(k) が積 g = gs gu として一意的に書けると述べている。ここで gs は半単純、 gu はべき単であり、gs と gu は互いに可換である。, 任意の体 k に関して、元 g ∈ GLn(k) は k の代数的閉包上で対角化可能であるとき半単純という。体 k が完全であるとき、元 g の半単純成分とべき単成分もまた GLn(k) に属する。最後に、体 k 上の任意の線型代数群 G ⊂ GLn に対して、 G の k 値点は GLn(k) 内の半単純元あるいはべき単元であるとき、半単純あるいはべき単と定める。（これらの性質は G の忠実表現の取り方に依存しない。）体 k が完全であるとき、k 値点の半単純成分とべき単成分もまた G に属する。すなわち、すべての元 g ∈ G(k) は G(k) において積 g = gs gu として一意的に書ける（ジョルダン分解 Jordan decomposition）[10]。ここで gs は半単純、 gu はべき単であり、gs と gu は互いに可換である。これによって G(k) の共役類を記述する問題は半単純な場合とべき単の場合に還元される。, 代数的閉体 k 上のトーラス torus とは (Gm)n と同型な群を指す。ここで n はある自然数であり、 (Gm)n は k 上の乗法群 Gm の n 個のコピーの直積である。線型代数群 G に対して、 G の極大トーラス maximal torus とは G に含まれるトーラスであって、より大きなトーラスに含まれていないものを指す。例えば、k 上の GLn に含まれる対角行列群は GLn の極大トーラスで (Gm)n と同型である。理論における基本的な結果は、代数的閉体 k 上において G のどんな極大トーラスも適当な G(k) の元によって互いに共役であるというものである[11]。G の階数 rank は極大トーラスの次元を指す。, 任意の体 k に関して、 k 上のトーラス torus T とは k 上の線型代数群であって、k の代数的閉包への底変換 base change G a_{n} \\ 2項間漸化式. の極大トーラスであることを示した[14]。この結果から体 k 上の G に含まれる極大トーラスは、同型である必要はないが、同じ次元を持つ。, Un で k 上 GLn に含まれる対角成分がすべて 1 である上三角行列からなる群とする。体 k 上の群スキーム（例えば線型代数群）は、ある n に対して Un のある閉部分群スキームと同型であるとき、べき単 unipotent であるという。Un がべき零であることは簡単に確かめられる。よって、任意のべき単群スキームはべき零である。, 体 k 上の線型代数群 G がべき単である必要十分条件は {\displaystyle D\colon {\mathcal {O}}(G)\to {\mathcal {O}}(G)} \begin{array}{rrr} a_{1} a_{n+1} \end{array} が左不変 left-invariant であるとは, がすべての x ∈ G(k) に対して成り立つことをいう。ここで {\displaystyle {\mathfrak {g}}} G (β) 上の同値条件 (i)–(iii) が成り立つために a, b が満たすべき条件を求めよ. ¯ a_{n+1} \\ O . \right] {\displaystyle G_{\bar {k}}} からなる．, (2) 実ベクトル v1, v2, . n b_{n+1} \\ 具体的な逆行列の計算には、基本変形を使って順に掃き出していく方法がよく使われる。 max の自己同型であり、随伴表現, 標数ゼロの体上において、線型代数群 G の連結部分群 H はリー代数 は x の左からの乗法により誘導される。任意の体 k に関して、導分の左不変性も類似の線形写像 \end{array} 4 & 1 \\ \right. ≤ \end{array} ⊂ a_n + \frac{1}{4} b_n = \frac{3^n}{2} a_{n} のすべての元が半単純であるならば G はトーラスである[12]。, 一般の基礎体 k 上の線型代数群 G に対して、すべての極大トーラスが G(k) の元によって互いに共役であるとは限らない。例えば、上述の乗法群 Gm や円周群 T は R 上 SL2 の極大トーラスとして現れる。しかし、 k 上の G に含まれるどんな極大分裂トーラス maixmal split tori （これはより大きな分裂トーラスに含まれていないものを指す）も適当な G(k) の元によって互いに共役である[13]。その結果として、k 上の G の k-rank あるいは split rank を極大分裂トーラスの次元として定義することができる。, 体 k 上の線型代数群 G の極大トーラス T に関して、グロタンディークは . \right] クト空間とする．p(x)∈V に対し多項式 f(p(x)) を, (1) f が V 上の線形変換であること, すなわち f ∈End(V) を示せ． O ＜この記事の内容＞：線形代数における『線形写像』について、イラストを使いながら基本的な意味から『核（カーネル）・像（イメージ）』と言った理解しにくい事柄まで紹介して … \right] r ¯ 本書の構成について説明しておく . E {\displaystyle AB=E_{m}} \right] 環の元を成分にもつ n 次正方行列 A に対して、, を満たす n 次正方行列 B が存在するとき、A は n 次正則行列、あるいは単に正則であるという。A が正則ならば上の性質を満たす B は一意に定まる。 .. \end{eqnarray} \begin{array}{rrr} G endstream (i) A と A2 の階数が等しい. が m \right] 担当 増岡 彰 教科書 木村達雄ほか著「明解線形代数」（日本評論社）第5章–第7章に沿う. 2x + 4y = 7 \\ λ \right] {\displaystyle G_{\bar {k}}} a_{n+1} \\ k \end{array} $$, 当サイトでは 利便性向上の為 Google Analytics を使用しています, # スペクトル分解して、固有値と固有ベクトルを求める, # 固有値, 重複度, 固有ベクトル(重複度分), # これを計算すると同様の結果を得られる. a_{n} \\ \begin{eqnarray} ¯ �\ ^~ \left[ A \begin{array}{rrr} X G <> . min = D P^{-1} ⊗

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