\] \left[ -D^{-1}CS_D^{-1} = -\left(-\frac{1}{2}\right)\left[ -A & E_m が成り立つ．したがって１つ目，３つ目の式に左から $A^{-1}$ を，２つ目，４つ目の式に左から $B^{-1}$ を掛けて O_{n,m} & E_n \end{array} 3 & 2 \\ TMyuki -1 &3&3\\ \begin{array}{cc} 1 & 0 & 0 & 0 \\ \begin{array}{cc} \left[ A & O_{m,n}\\ \begin{array}{cccc} A&B\\ $$, 同次座標を用いた $3$ 次元空間の（$x$軸周りの）$\theta$ 回転行列 \], 「Sherman-Morrison-Woodbury の公式」「逆行列補題」と呼ぶこともある．また，これらの名称は以下に示す Theorem 4 のことを指す場合もある．, 以下で証明する Theorem 4 において $D$ に $m$ 次の単位行列 $E_m$ を代入せよ．, $$ Q & O \\ O & R \right]^{-1} = \left[ Q = \left[ \right]^{-1} \begin{array}{rrrr} \left[ &= \bigl(A(E_n + A^{-1}BDC)\bigr)^{-1} \\ \end{array} \textrm{det}(E+QP) = \textrm{det}(E+PQ) \neq 0 であるから，$PQ$ は正則行列ではない．$m \leqq n$ の場合は $PQ$ が正則となることがある．, また，$m = n$ であって $P$ および $E+PQ$ が正則であれば，$E+QP$ も正則である．実際 \begin{array}{cc} \end{array} \begin{array}{cc} \left[ $A^{-1}=\dfrac{1}{4}\begin{pmatrix}-2&-3&1\\2&1&1\\-4&-2&2\end{pmatrix}$, ※2018/7/19 余因子の定義が間違っておりました，ご指摘ありがとうございましたm(_ _)m. © 2014--2020 高校数学の美しい物語 All rights reserved. \end{array} \left[ \right] E_m & -A\\ \right] \\ = \], \[ $$, が成り立つ．ここで２つ目の等号は $(PQ)^{-1} = Q^{-1}P^{-1}$，３つ目の等号はLemma 2，５～７つ目の等号はLemma 3を繰り返し用いた．, 仮定より $A$ および $A + BDC$ は正則であるから，$E + A^{-1}BDC$ は正則である．, また，Lemma 3 の補足と $A^{-1}$ が正則であることから，$E+BDCA^{-1}$ は正則である．, なお，６つ目の等号は正方行列 $BDC$ に Lemma 3 を適用した．$n > m$ ならば $BDC$ は正則ではないが，$E+BDCA^{-1}$ は正則である．, また，$E_m + DCA^{-1}B$ が正則であると仮定すれば，Lemma 3を用いて, \[ \left(-\frac{1}{2}\right) \], $$ \end{array} E & O \\ -CA^{-1} & E \right] = Q = \left[ AP = E_m, \quad BS = E_n , \quad AQ = O_{m,n}, \quad BR = O_{n,m} \textrm{Rot}(x, \theta) = \left[ \right]\left[ \begin{align*} D & C 0 & 0 & 0 & 0 \\ \end{array} が成り立つ．, \[ \] \[ \begin{array}{cc} \begin{array}{cc} 2 &= A^{-1}-A^{-1}(E_n + BDCA^{-1})^{-1}BDCA^{-1} \\ Q & O \\ O & R \right]^{-1} O_n & E_n \right] 4×4行列の逆行列の公式. \right] E & O \\ S & E \begin{array}{cc} \right]^{-1} が成り立つ．, Theorem 9-a において $D$ および $A-BD^{-1}C$ が正則であるとき，Theorem 4 より, \[ Tweet. \right] \end{array} 代数学, 数学, 解析学 \left[ に対して \end{align*} \left[ \right] \end{array} である．Theorem 11 より, $$ \[ \left[ \right]^{-1} \right] \right] \end{array} \left(-\frac{1}{2}\right) Q = -AS = -A C & -D \\ &= (E_n + A^{-1}BDC)^{-1}A^{-1} \\ で考えているが，実は $AB = E$ または $BA = E$ のどちらかが成り立てばもう一方も成り立つことが知られている（齋藤先生の「線形代数入門」など）から，片側のみ調べることにする．, $A \in \mathbb{C}^{m \times n}$ に対して次が成り立つ：, \[ $$, $A \in \mathbb{C}^{n \times n}$，$\boldsymbol{u}, \, \boldsymbol{v} \in \mathbb{C}^{n \times 1}$（ $n$ 次列ベクトル)とする．$A + \boldsymbol{u} {}^{t}\boldsymbol{v}$ が正則であるとき，次が成り立つ．, \[ 1 & 0 & -1 & 0& 0 & -1 & 0 & 1 A & O_{m,n}\\ \] 0 & -1 & 0 & 1 & 1 & 0 & -1 & 0 \\ \left[ \] C&D $\begin{pmatrix}1&0&-\frac{1}{2}&0&-\frac{1}{2}&0\\0&2&-1&2&1&0\\0&0&2&-2&-1&1\end{pmatrix}$ \left[ \textrm{Trans}(a,b,c)^{-1} = \textrm{Trans}(-a,-b,-c) \end{array} AC-BD & -AD-BC \\ \hline &= \right] \end{array} \begin{array}{cc} &= AC + iAD + iBC-BD = (AC-BD) + i(AD + BC) \right] \right] + \frac{i}{4} \left[ \end{array} \left[ \[ \begin{array}{cc} \[ S_D = A-BD^{-1}C \] \[ &= \frac{1}{4} \end{array} A & B \\ C & D E & S \\ O & E \right] 1 & -2 \\ \left[ = S_D^{-1}&-S_D^{-1}BD^{-1}\\ -1 & 1 & -1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 1 \end{align*} 正則行列の逆行列，ブロック行列の性質に関連したい … \right]^{-1} \] \[ アタリマエ！ 統計学. \[ \right]^{-1} \begin{array}{cc} \left[ \end{array} \begin{array}{cc} \end{array} $$, $$ であり，２つ目，３つ目の式から \] -1 & 3 \end{array} \] E_m & A\\ 1 & 1 行基本変形を適用して左半分を $I$ にするのが目標。まず一列目を見て，1行目の2倍を2行目に加える： \end{array} E & S \\ O & E \], $A$ が右上にある場合を示す．$P \in \mathbb{C}^{m \times m}$，$Q \in \mathbb{C}^{m \times n}$，$R \in \mathbb{C}^{n \times m}$，$S \in \mathbb{C}^{n \times n}$ に対して, \[ \left[ \begin{array}{cc} \end{array} \right] \right] =
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